六国基础教育阶段数学课程的衔接性研究
一、问题提出
２０１４年教育部出台《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，指出：“基本建成中小学各学段上下贯通、有机衔接、相互协调、科学合理的课程教材体系。”而关键领域之一在于：“增强整体性，强化各学段、相关学科纵向有效衔接和横向协调配合。”
我国基础教育阶段数学课程标准包括义务教育阶段和高中阶段两个文本，基于课程的整体性要求，两者之间的纵向有效衔接性有着重要的研究价值，同时也是修订数学课程标准的重要内容之一。本文试图在国际视野下围绕各国数学课程设置情况、课程标准文本结构、课程理念与目标等方面，分析我国中小学数学课程标准文本的衔接性问题，旨在为课程标准修订工作提出参考与建议。
二、研究设计
１．研究对象的选取
样本国家的选取综合考虑了地域位置、经济状况、文化背景、数学教育背景等因素，除我国之外在全球范围内选择了五个代表国家：澳大利亚、英国、新加坡、美国、南非（六个国家以国家代码首字母进行排序，分别是澳大利亚、中国、英国、新加坡、美国、南非），六个国家中小学现行国家数学课程标准（各国对于“课程标准”名称各不相同，为了全文行文一致，本文中统称为“某国课程标准”）文本如表１。
２．研究思路与方法
本文以六个国家现行数学课程标准文本为研究对象，基于衔接性的研究视阈，分别对各国基础教育阶段数学课程设置状况、课程标准文本结构、课程理念与目标进行比较与分析，在国际视野下审视我国数学课程衔接性的基本特征及不足。主要采用文献资料、比较分析等教育研究方法。
表1 六国现行国家课程标准文本
三、数学课程文本结构衔接性分析
六国在课程标准文本的类型结构上呈现出较大差异：
一方面，就“类型结构”数量而言，除了美国实行基础教育阶段统一的课程标准文本，不同阶段课程标准文本结构数量相同（或相近）的国家包括：中国和南非。其中，我国义务教育阶段、高中阶段数学课程标准文本均包括五个部分，类型结构基本一致，是六国课程标准类型结构阶段衔接当中较为良好的国家。南非小学、初中阶段类型结构基本一致，高中阶段略为不同。
另一方面，不同国家课程标准文本的类型结构具有较大差异，最少的国家仅包含两部分结构；最多的国家可以包含九部分结构。各国课程标准文本的呈现形式不同，为了进一步比较各国课程标准文本具有的基本要素，本文归纳了六国课程标准文本的类型结果，参见表２、表３。
表2 六国数学课程标准文本的类型结构
表3 六国数学课程标准文本的基本要素
如表２、表３所示，就“基本要素”数量而言，除了美国实行基础教育阶段统一的课程标准文本，不同阶段课程标准文本要素数量相同的国家包括：澳大利亚、中国、南非。其中，澳大利亚、中国也是包含基本要素数量最多的国家（各包含５个基本要素），且不同阶段课程标准文本基本要素完全相同，从一定程
度上可以说明，该三国“基本要素”阶段衔接性较为良好。
由此可见，六国之间课程标准文本就“类型结构”“基本要素”而言差异较大，但是，各国内部不同阶段文本的类型结构、基本要素则基本相同。其中，六国较为重视的基本要素包括：理念目标、内容标准。
四、数学课程理念目标衔接性的分析
１．课程基本理念衔接性的比较与分析
澳大利亚课程标准文本包含“基本原理”（ｒａｔｉｏｎａｌｅ）和“目标”（ａｉｍｓ），其中，ｆ－１０年级数学课程“基本原理”主要包括四部分内容：数学课程的主要内容；数学的价值和美；数学课程内部和其他学科之间的关系；课程的预期。高中阶段数学课程有四门科目，具体科目课程仍适用于ｆ－１０年级精通程度标准。基础教育阶段“基本理念”中精通程度标准从小学一直贯穿到高中阶段，且高中阶段四门课程中都被提及。
中国课程标准文本包含“基本理念”和“课程目标”，其中，义务教育阶段“基本理念”主要包括五部分内容。高中阶段文科数学和理科数学共用一个课程标准文本，两者“基本理念”相同。义务教育阶段部分内容在高中阶段得到延续，例如，核心理念“以学生发展为本”在高中阶段进一步发展为“构建共同基础，提供发展平台”“提供多样课程，适应个性选择”“注重提高学生的数学思维能力”“发展学生的数学应用意识”；“数学课程内容的选择与组织”在高中阶段进一步发展为“与时俱进地认识‘双基’”“强调本质，注意适度形式化”；“数学教学活动的认识”在高中阶段进一步发展为“倡导积极主动、用于探索的学习方式”；“学习评价的认识”在高中阶段进一步发展为“建立合理、科学的评价体系”；“重视信息技术的应用”在高中阶段进一步发展为“注重信息技术与数学课程的整合”。
英国课程标准文本包含“学习意图”（ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｓｔｕｄｙ）和“目标”（ａｉｍｓ），其中，关键阶段１和２“学习意图”主要介绍了数学的作用和价值。关键阶段３和关键阶段４“学习意图”与关键阶段１、２相同。
新加坡课程标准文本小学阶段包含ａ和ｂ两个部分，ａ部分包含“基本原理”（ｒａｔｉｏｎａｌｅ）和“学校数学教育的目标”（ａｉｍｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｃｈｏｏｌｓ）。其中，“基本原理”主要介绍数学的作用和价值。
美国课程标准文本中没有直接出现“课程理念”之类字样，但是在“前言”部分提出“更集中和更具连贯性”，“为了提高美国的数学学业成就，美国的数学课程必须整体上变得更加聚焦和具有连贯性。”在此基础上提出“理解数学”，“理解数学的一个特点是判断能力，用一种合适的方式判断学生的数学成熟度：为什么某个数学命题是正确的或者某条数学规则从何而来”。可以将其视为广义上的“基本理念”。
南非数学课程标准文本中没有直接出现“课程理念”之类内容。
由上可知，六国关于“基本原理”在课程标准文本中的呈现方式差异较大。其中，澳大利亚、中国、英国、新加坡四国出现明确的“基本原理”“基本理念”“学习意图”之类与课程基本理念相关的内容。而美国、南非则没有明确出现。一方面，澳大利亚、中国课程基本理念在小学、初中、高中阶段呈现阶段性变化，要求逐步深入，衔接性良好。澳大利亚高中阶段“基本原理”分别阐述，更有利于针对未来不同发展方向的学生学习；另外，“精通程度标准”从小学阶段一直延续到高中阶段，且在高中阶段得到扩充。中国义务教育阶段基本理念在高中阶段基本均得以衔接并发展，衔接性良好；然而，义务教育阶段基本理念中并未强调“数学文化价值”的渗透；高中阶段基本理念中并未强调对“教师活动”的认识。另一方面，英国、新加坡课程基本理念在整个小学、初中、高中阶段内容基本一致，没有呈现明显的层次性。值得一提的是，美国基础教育阶段数学课程“基本理念”虽然没有直接给出，但是给出了课程设置的大方向：聚焦、连贯性、数学理解。
２．数学课程目标衔接性的比较与分析
澳大利亚ｆ－１０年级数学课程“目标”主要包括三部分内容：将公民培养为“有自信、有创造性的数学使用者和交流者”；强调“数学概念的理解”“分析过程的流畅程度”“提出并解决问题”“推理”；认识到“数学领域和其他学科之间的联系”。高中阶段数学课程四门科目“目标”主要内容包括：理解不同科目具体内容中的概念和技能；解决问题的能力；推理和描述的技能；交流的能力；选择和使用合适技术的能力。基础教育阶段目标“精通程度”从小学一直贯穿到高中阶段，并且在高中阶段得到扩充：交流能力、选择和使用合适技术的能力。
中国义务教育阶段数学“课程目标”分为“总目标”和“学段目标”两部分，在总目标基础上，进一步从四个方面具体阐述：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。学段目标按照三个学段分别阐述，各个学段沿袭四个方面内容展开阐述。高中阶段数学“课程目标”分为“总目标”和“具体目标”两部分。义务教育阶段目标结构和高中阶段存在一定差异，具体目标不再分为四个方面阐述。总目标中“获得‘四基’”在高中阶段阐述为“基础知识”“基本技能”“数学思想和方法”“体验数学发现和创造的历程”；“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”在高中阶段阐述为“提高用数学提出、分析和解决问题
的能力”，在此基础上进一步提出“提高基本能力”“数学表达和交流的能力”等等；“了解数学价值，培养科学态度”在高中阶段进一步得到发展，“形成锲而不舍的钻研精神和科学态度”“逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值”。
英国“目标”主要是从“精通”“数学推理”“问题解决”三个层面展开阐述。另外，强调通过数学思想建立丰富的联系，以发展精通、数学推理和解决问题的能力。“目标”中“精通”“数学推理”“问题解决”三个层面与关键阶段１、２相同。另外，强调数学思想的转换，以数学推理和解决问题能力为基础。
新加坡“学校数学教育的价值”提出８点具体内容。ｂ部分包含“小学数学课程具体目标”，主要结合小学数学课程具体内容进行阐释。初中阶段ｎ（ｔ）、ｎ（ａ）和ｏ三门课程中均包括“目标”和“评估目标”。其中，“目标”首先表明具体课程针对的学习对象，接下来提出８点内容，与小学阶段“学校数学教育的价值”内容一致；“评估目标”提出测试考生的三点要求。ｎ（ａ）课程要求比ｎ（ｔ）课程高一个层次，主要包括“解决更高层次思维的问题”和“书写数学的解释和论证”。ｏ课程要求与ｎ（ａ）课程要求一致。高中阶段ｈ１、ｈ２和ｈ３三门课程中，均包括“目标”和“评估目标”__________。其中，ｈ１、ｈ２课程“目标”首先提出具体课程针对的学习对象和主要内容，接下来提出８点内容，与小学阶段“学校数学教育的价值”内容一致。“评估目标”提出测试考生的三点要求，ｈ１、ｈ２课程“评估目标”内容一致，比初中阶段高一个
层次，如“理解并使用数学概念和技能”中增加了“数学表达式的变形和图形计算器的使用”。ｈ３课程也是三门课程中的最高要求。
美国课程标准文本中没有直接出现“课程目标”之类字样，但是第二部分提出８条“数学实践标准”，可以将其视为实践内容的课程目标：理解问题并坚持解决问题；抽象化和量化推理；构建可行的数学推理并进行合理的批判；数学建模；策略性地使用合适的工具；致力于精度；寻找并使用结构；在重复推理中寻找并表达规律。
南非课程标准文本中，小学阶段“定义、目标、技能与内容”中，提出了７条“具体目标”。初中阶段“定义、目标、技能与内容”中，提出了７条“具体目标”，具体内容均与小学阶段内容一致。高中阶段“数学的前言”中，提出了８条“具体目标”。
由此可见，六国关于整个基础教育阶段数学课程目标的衔接性差异较大，呈现出各自不同的特色。
（１）澳大利亚、中国、新加坡、南非四国呈现出阶段性差异。澳大利亚高中阶段“目标”分别阐述，更有利于针对未来不同发展方向学生的学习。另外，“精通程度线索”从小学阶段一直延续到高中阶段，且在高中阶段得到扩充。新加坡基础教育阶段数学课程“目标”的８点要求贯穿整个小学到高中阶段，内容基本一致，只是不同阶段针对对象有所不同。具体差异体现在“评估目标”内容，小学阶段给出“小学课程具体目标”，与小学数学具体内容挂钩；初中阶段三门课程ｎ（ａ）、ｏ课程基本一致，要求比ｎ（ｔ）课程高一个层次；高中阶段比初中阶段高一个层次，ｈ１和ｈ２课程基本一致，ｈ３课程要求最高。有贯穿整个基础教育阶段的“目标”；具体不同要求体现在“评估目标”中。南非数学课程小学、初中阶段“具体目标”基本一致；高中阶段则出现较大差异。小学、初中阶段主要侧重于数学在情感、态度、价值观方面的作用；理解数学概念；获得必要的数学知识和技能。高中阶段课程目标主要侧重于：计算技能；数学模型；发展学习者系统化、一般化能力；发展问题解决和认知技能。要求较小学、初中阶段明显具体且提高。
（２）英国小学、初中、高中阶段没有体现明显的层次性。英国小学、初中、高中阶段均贯穿了“精通”“数学推理”“问题解决”的认知要求。然而，小学、初中、高中阶段“目标”基本一致，没有明显的层次性。
（３）美国是六国中课程标准文本唯一没有明确提及“课程目标”的国家。值得一提的是，中国是其中标准文本关于“数学课程目标”着墨最多的国家。义务教育阶段课程目标分为“总目标”和“学段目标”，高中阶段课程目标分为“总目标”和“具体目标”，将目标分为宏观、中观、微观三个层面，有利于在课程内容中更好地贯彻课程目标。然而，义务教育阶段强调的“体会数学知识之间、与其他学科之间、与生活之间的联系”并未在高中阶段进一步提及，这也是认识数学价值的重要内容；高中阶段强调“数学素养”，在“满足个人发展”的同时提出“满足社会进步”，义务教育阶段对于“数学素养”没有过多提及。
五、结论与启示
基于国际视野下基础教育阶段数学课程的衔接性研究，可以通过审视其他国家基本特征、优势及不足，反思我国数学课程的设置情况，进而为我国全面深入地课程改革提供一定参考。通过分析与比较，得到以下启示：
１．关于我国基础教育阶段数学课程衔接性的基本特征
就课程标准文本结构而言，义务教育阶段、高中阶段“类型结构”均包括五个相同部分，是六国之中不同阶段类型结构最为一致的国家。就课程标准基本要素而言，义务教育阶段、高中阶段“基本要素”均包括五个相同要素，是六国之中不同阶段基本要素数量最多的国家。
就数学课程理念目标而言，义务教育阶段“基本理念”“课程目标”在高中阶段基本得以衔接并发展，衔接性良好。然而，义务教育阶段基本理念对于“数学文化价值”以及高中阶段对于“教师活动”的强调略显不足；义务教育阶段课程目标对于“数学素养”以及高中阶段对于“体会数学知识之间、与其他学科之间、与生活之间的联系”没有过多提及。
２．高中阶段“文科数学”“理科数学”课程目标建议分别阐述
六国之中只有澳大利亚、中国、新加坡３国高中阶段提供两门以上课程供不同需求学生进行选择。其中，澳大利亚高中阶段四门科目“基本原理”“目标”针对不同学习对象分别阐述，新加坡“评估目标”也体现出具体要求，这样设置更有利于不同学生课程内容的选择和组织。我国高中阶段两门课程共用一个课程标准文本，“基本理念”“课程目标”也完全相同，区别主要在“内容标准”。课程目标直接影响着课程内容，相同的课程目标容易增加课程设计者以及教材编写者对于两门课程之间难度的把握。
３．对于“课程目标”而言，建议从小学到高中阶段有总目标贯通
新加坡课程目标设置体现出较好的层次性，既有贯穿整个基础教育阶段的“目标”，又有针对不同学习对象的“评估目标”。美国虽然没有直接出现“理念”“目标”字样，但是却给出了整个基础教育阶段数学课程设置的大方向。我国义务教育阶段、高中阶段课程目标层次分明，但是如果能够有比较一致的１～２条贯穿整个基础教育阶段的总目标，并在其指导下，各个阶段再制定具体目标，对于我国课程设置的整体性应更有益。